1. 如何理解Log 函數？
2. 證明三角形的三隻角的總和是180度
3. 證明Pythagoras Theorem a*a+b*b=c*c
4.長方形,三角形,平行四邊形, 梯形的面積
5. 為何三角錐體 (Triangular
Pyramid )的體積是三分一底面積乘高
6. 為何不論圓的大小，圓周率（π
= 圓周／直徑）是一樣的？
7. 在圓形裏，任何直徑頭尾兩點，和任何圓形上的一點A形成的三角形，A點的⻆度都是90度
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1. 如何理解Log 函數？
i) 我們知道:
10 x 10 x ..
(自乘4次) = 10000 = 104
10 x 10 x .. (自乘5次) = 100000 = 105
現在給你一個數, 1000, 問這個數是10 乘幾多次出來的?
透過Log function 就可得出 (用計數機)
log 1000 = 3
因為log 103 =
3
即是說, Log 的功能是取其指數
log 1020 =
20
log 10Y =
Y
如果想知道 81是由3乘幾多次出來的 ( 3 x 3 x .. )?
這時base 要變成3,而不是10
log 3 81 = 4 (注意: 如果base不寫出來, base就是10, 答案會不一樣 )
為什麼答案是4 ? 因為 log 3 34 = 4 ( 取了其指數)
簡單來說, Log函數是逆轉指數函數:
711
= 1977326743 (指數函數: 7X)
Log 7 1977326743 = 11 (Log函數: log X)
ii) 常用的 base有: 10, 2, e常數
(e常數的值是2.71828182845 ..,
一般取近似值2.718)
例子:
log
123 = 2.0899 (base不寫出來, 所以base = 10)
log 2 64 = 6 ( base =2 ) 因為64 = 26
log e 456 = 6.122 ( 當base 是e 時, log e寫成ln, 讀做natural log )
即ln 456 = 6.122
iii) 如何理解指數不是整數 (例如17 1.5 , 3 2.48 ) ?
1.5次方是什麼意思,
2.48 次方是什麼?
用17 1.5為例, 因為1.5 可以寫成分數 
, 所以17 1.5 可以變成
, 又可以寫成 a)
或
b) 
a) 的意思是先將17自乘15次,然後開10次方
(= 
) ;
b) 的意思是先將17開10次方,然後才自乘15次 (
= 
)
a) 和b) 的結果是一樣的.
所以當指數不是整數時,是沒有問題的,先變成分數來看, 然後變成次方和開方的組合.
同樣地, 在Log function也可得出非整數的答案 (例如 log
123 = 2.0899 )
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2. 證明三角形的三隻角的總和是180度
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3. 證明Pythagoras Theorem a*a+b*b=c*c
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4.長方形,三角形,平行四邊形的面積
長方形面積: 底乘高 (a*b)
直角三角形面積: 由長方形分成一半,所以是: 底乘高除2
(a*b)/2
為什麼不只直角三角形,所有三角形面積都是底乘高除2?
因為只要將三角形切成兩個直角三角形,將兩個面積相加,得出來的公式都是底乘高除2
(a*b)/2
平行四邊形的面積為什麼是底乘高
a*b
梯形面積: （上底 ＋ 下底）乘高除2
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5. 為何三角錐體 (Triangular
Pyramid )的體積是三分一底面積乘高
假設h = 20， 最底 (x=20) 面積是A，
Triangle 面積是(1/2) c*d*sin y =A
在x=10的位置， 面積就是A/4， 因為每條邊縮了一半。
在任意x的位置， 面積就是 A * (x／20)^2
利用微積分(calculus)，體積是面積乘厚度dx ，即是 A * (x/20)^2 dx
將20改回h ，
pyramid體積是 integrate A * (x/h)^2 dx from
0 to h
同一道理， CONE(圓錐體) 體積也是三分一底面積乘高
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6. 為何不論圓的大小，圓周率（π
= 圓周／直徑）是一樣的？
當分割成n份
c= 2* r1 * sin(360/2n) =
2*r1*sin(180/n)
d= 2* r2 * sin(360/2n) =
2*r2*sin(180/n)
細圓的圓周, L = 
= 
大圓的圓周, S = 
= 
細圓的圓周率= L/(2*r1) = 
大圓的圓周率= S/(2*r2) =
由此可見，不論圓大小，任何圓的圓周率都是一樣的。
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7. 在圓形裏，任何直徑頭尾兩點，和任何圓形上的一點A形成的三角形，A點的⻆度都是90度
